„In each contradiction something is said about all cases of some kind, and form what is said a new case seems to be generated, which both is and is not of the same kind as the cases of which all were concerned in what was said. But this is the characteristic of illegitimate totalities, as we defined them in stating the vicious-circle principle. Hence all our contradictions are illustrations of vicious-circlefallacies" (Russell (21), S. 62).

Wie können also die „illegitimate totalities" und „vicious-circle fallacies" ausgeschlossen werden Von den insgesamt sieben von Russell in Mathematical Logic und in den Principia Mathematica vorgeführten Antinomien möchte ich nur den „Lügner" und die „Klasse" durchspielen.

Lügner": Der Ausdruck „falsch", der in dieser Antinomie vorkommt, ist nach Russell „ambiguos": um ihn zu bestimmen (und um damit zugleich die Antinomie aufzulösen), muss man den Typ jenes Satzes bestimmen, dom „falsch" als Eigenschaft zugesprochen wird. wenn dieser Satz p (welcher falsch sein soll) den Typ n hat, dann muss der Satz, der diese Klassifikation vornimmt, den Typ n+t haben: er kann nicht typengleich mit p sein, mithin kann er sich nicht auf sich selbst beziehen.

„Klassen"-Antinomie: eine Klasse ist die Menge aller jener Argumente einer Funktion, welche diese befriedigen, d.h.: wahre Werte dieser Funktion ergeben; diese Funktion zur Bestimmung der Klasse vorausgesetzt also kann die ist Klasse selbst kein sinnvolles Argument dieser Funktion sein, was heißt: sie kann kein Element von sich selbst sein. In der Pseudo-Klassifikation „Klasse aller Klassen, die nicht Elemente von sich selbst sind" bzw. in der Pseudo-Funktion „¬ (x ε x)"", besteht die „vicious-aircle fallacy" darin, dar Klassen als Elemente von sich selbst auftreten (wenn dies auch negiert ist, so treten sie doch syntaktisch so auf!) sodass auf den ersten Blick Klasse und Element, Funktion und Argument als typengleich erscheinen. Klasse und Funktion müssen aber den Typ n+1 haben, wenn ihr Element bzw. ihr Argument den Typ 1 hat: also ist „¬ (x ε x)" sinnlos.

„In all of them, the appearance of contradiction is produced by the presence of some word which has systematic ambiguity of type, such as truth, falsehood, function, property, class, relation, cardinal, ordinal, name, definition. Any such word, if its typical ambiguity is overlooked, will apparently generate a totality containing members defined in terms of itself, and will thus give rise to vicious-circle fallacies. In most cases, the conclusions of argument which involve vicious-circle fallacies will not be self-contradictory, but wherever we have an illegitimate totality, a little ingenuity will enable us to construct a vicious-circle fallacy leading to a contradiction, which disappears as soon as the typically ambiguos words are rendered typicallys definte, i.e. are detormined as belonging to this or that type. " (Russell (21), S. 64)