Eine Funktion kann darum nicht ihr eigenes Argument sein, weil das Funktionszeichen bereits das Urbild seines Arguments enthält und es sich nicht selbst enthalten kann.
Nehmen wir nämlich an, die Funktion F (fx) könnte ihr eigenes Argument sein; dann gäbe es also einen Satz: „F (F (fx))“ und in diesem müssen die äussere Funktion F und die innere Funktion F verschiedene Bedeutungen haben, denn die innere hat die Form ϕ(fx), die äussere, die Form ψ(ϕ(fx)). Gemeinsam ist den beiden Funktionen nur der Buchstabe „F “, der aber allein nichts bezeichnet.
Dies wird sofort klar, wenn wir statt „F (F (u))“ schreiben „(∃ϕ) : F (ϕu) . ϕu = Fu“.
Hiermit erledigt sich Russell’s Paradox.
# Interpretation von TLP 3.333
Wittgenstein löst hier Russells Paradox (die Menge aller Mengen, die sich nicht selbst enthalten) durch eine logisch-grammatische Analyse.
Kernargument: Eine Funktion F(fx) kann nicht sinnvoll auf sich selbst angewendet werden, weil das Funktionszeichen bereits die logische Form (das „Urbild") seines möglichen Arguments festlegt. Wenn F(F(fx)) gebildet wird, sind die äußere und innere Funktion logisch verschiedenen Typs – sie haben unterschiedliche Formen (ψ(ϕ(fx)) vs. ϕ(fx)) und können daher nicht identisch sein, obwohl sie dasselbe Zeichen „F" tragen. Das gemeinsame Zeichen täuscht eine Identität vor, die es nicht gibt.
Philosophische Bedeutung: Dies ist ein zentrales Beispiel für Wittgensteins These, dass Scheinprobleme oft aus einer Verwechslung von Zeichen und Symbol entstehen (vgl. 3.32–3.325). Russells Paradox erscheint nur deshalb als Problem, weil die Zeichensprache verschiedene logische Typen mit demselben Symbol bezeichnet. Eine angemessene Notation (wie die vorgeschlagene Umschreibung mit Existenzquantor) macht die Typenverschiedenheit sichtbar und löst das Paradox auf – nicht durch eine zusätzliche Theorie (wie Russells Typentheorie), sondern durch logische Klärung der Sprache selbst. Dies exemplifiziert Wittgensteins Grundüberzeugung, dass Philosophie keine neuen Sätze aufstellt, sondern Unklarheiten der Sprache beseitigt.
These: Eine Funktion kann nicht sich selbst als Argument nehmen, weil ihr Zeichen bereits die Form des möglichen Arguments vorgibt (Urbild). In F(fx) ist das innere F eine Prädikatsfunktion über Gegenstände; das äußere F in F(F(fx)) müsste hingegen über Sätze/Funktionen gehen. Unter demselben Buchstaben stünden also zwei verschiedenartige Funktionen; der Buchstabe allein bezeichnet nichts. Die Umschreibung (∃ϕ) F(ϕu). ϕu = Fu macht diese Typendifferenz sichtbar: ϕ variiert über Funktionen vom Typ Gegenstand→Satz; das äußere F hätte Typ (Gegenstand→Satz)→Satz. Eine einheitliche Selbstanwendung entfällt. Damit erledigt sich Russells Paradox: Der Ausdruck „die Funktion, die sich nicht auf sich selbst anwendet, auf sich selbst angewandt“ ist logisch ungrammatisch, kein echter Satz. Wittgenstein beseitigt das Paradox nicht durch Axiome, sondern zeigt, dass die richtige logische Syntax solche Scheinbildungen ausschließt.
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