Eine Funktion kann darum nicht ihr eigenes Argument sein, weil das Funktionszeichen bereits das Urbild seines Arguments enthält und es sich nicht selbst enthalten kann.
Nehmen wir nämlich an, die Funktion F (fx) könnte ihr eigenes Argument sein; dann gäbe es also einen Satz: „F (F (fx))“ und in diesem müssen die äussere Funktion F und die innere Funktion F verschiedene Bedeutungen haben, denn die innere hat die Form ϕ(fx), die äussere, die Form ψ(ϕ(fx)). Gemeinsam ist den beiden Funktionen nur der Buchstabe „F “, der aber allein nichts bezeichnet.
Dies wird sofort klar, wenn wir statt „F (F (u))“ schreiben „(∃ϕ) : F (ϕu) . ϕu = Fu“.
Hiermit erledigt sich Russell’s Paradox.
These: Eine Funktion kann nicht sich selbst als Argument nehmen, weil ihr Zeichen bereits die Form des möglichen Arguments vorgibt (Urbild). In F(fx) ist das innere F eine Prädikatsfunktion über Gegenstände; das äußere F in F(F(fx)) müsste hingegen über Sätze/Funktionen gehen. Unter demselben Buchstaben stünden also zwei verschiedenartige Funktionen; der Buchstabe allein bezeichnet nichts. Die Umschreibung (∃ϕ) F(ϕu). ϕu = Fu macht diese Typendifferenz sichtbar: ϕ variiert über Funktionen vom Typ Gegenstand→Satz; das äußere F hätte Typ (Gegenstand→Satz)→Satz. Eine einheitliche Selbstanwendung entfällt. Damit erledigt sich Russells Paradox: Der Ausdruck „die Funktion, die sich nicht auf sich selbst anwendet, auf sich selbst angewandt“ ist logisch ungrammatisch, kein echter Satz. Wittgenstein beseitigt das Paradox nicht durch Axiome, sondern zeigt, dass die richtige logische Syntax solche Scheinbildungen ausschließt.
Nur angemeldete Nutzer:innen können neue KI-Analysen anfordern. Anmelden